Knik treedt op als twee tegengestelde krachten op een verhoudingsgewijs lang voorwerp duwen. De staaf wijkt dan zijdelings uit en bezwijkt bij een kracht die ver onder de druksterkte van het materiaal kan liggen. Hoe ver, hangt vooral af van de lengte — en wel kwadratisch.

De knikformule van Euler

De kracht waarbij een kolom uitknikt, volgt uit de formule van Euler:

P_{cr} = \frac{\pi^{2} \cdot E \cdot I}{\left(K \cdot L\right)^{2}}

Twee dingen vallen hieraan op. De lengte staat in het kwadraat, dus een twee keer zo lange kolom haalt nog maar een kwart. En de vloeigrens komt er niet in voor: knik is een stijfheidsprobleem, geen sterkteprobleem. Een sterkere staalsoort helpt niet tegen knik, een dikkere of kortere staaf wel.

De constante K

Er zijn verschillende manieren waarop een kolom kan uitknikken, en dat hangt af van hoe hij aan beide uiteinden vastzit. De knikvorm is telkens een stuk sinus. K·L is de effectieve lengte: de afstand tussen de buigpunten van die vorm, en daarmee de lengte van de scharnierend opgelegde kolom die net zo sterk zou zijn.

Vier kolommen naast elkaar met verschillende oplegging: scharnierend aan beide zijden met K is 1, onder ingeklemd en boven vrij met K is 2, aan beide zijden ingeklemd met K is een half, en onder ingeklemd met boven een scharnier met K is 0,7. Elke knikvorm is een stuk sinus.

De ingeklemde kolom met een vrij uiteinde is het duidelijkste geval. Spiegel hem onder de inklemming door en je ziet een scharnierende kolom van 2L. Vandaar K = 2, en vandaar dat hij maar een kwart kan hebben van een scharnierende kolom van dezelfde lengte.

Een onder ingeklemde kolom met een vrij uiteinde, met daaronder gespiegeld de denkbeeldige voortzetting die laat zien dat de effectieve lengte twee keer de werkelijke lengte is.

Het verschil tussen de uitersten is groot: tussen K = 0,5 en K = 2 zit een factor zestien in de kniklast. Wie een kolom moet versterken, kan beter naar de bevestiging kijken dan naar het materiaal.

Knik om de zwakste as

De Euler-formule vraagt om I, het oppervlaktetraagheidsmoment, en daarbij geldt één regel: knik zoekt de zwakste richting. Neem dus het kleinste traagheidsmoment van de doorsnede, niet het traagheidsmoment om de as waar je bij buiging aan denkt. Een lat van 20 × 10 mm knikt om de slappe as, hoe je hem ook neerzet.

In mijn artikel over doorbuiging staat hoe je I voor de gangbare doorsneden uitrekent.

Slankheid: knik of vloei?

Niet elke kolom knikt. Een korte, gedrongen staaf vloeit gewoon plat voordat er van uitwijken sprake is. Wat de twee uit elkaar houdt, is de slankheid: de effectieve lengte gedeeld door de traagheidsstraal van de doorsnede.

\lambda = \frac{K \cdot L}{r} \qquad \text{met} \qquad r = \sqrt{\frac{I}{A}}

De traagheidsstraal r is een maat voor hoe ver het materiaal van de neutrale as af zit. Voor een massieve ronde staaf is r gewoon een kwart van de diameter.

Vergelijk de slankheid met de grensslankheid van het materiaal. Dat is de slankheid waarbij knik en vloei precies samenvallen:

\lambda_{\mathrm{grens} } = \pi \sqrt{\frac{E}{f_y}}
\begin{aligned}
\lambda > \lambda_{\mathrm{grens} } &\quad\Rightarrow\quad \text{knik is maatgevend} \\[2pt]
\lambda < \lambda_{\mathrm{grens} } &\quad\Rightarrow\quad \text{vloei is maatgevend}
\end{aligned}
Grafiek met de slankheid langs de horizontale as en de spanning langs de verticale. Links het vloeiplateau op de vloeigrens, rechts de dalende Euler-hyperbool, met de grensslankheid als overgang tussen de twee gebieden.

Merk op dat in die grens alleen E en fy voorkomen, en geen enkele afmeting. De grensslankheid is dus een eigenschap van het materiaal; de slankheid zelf een eigenschap van jouw kolom. Voor S235-staal ligt de grens rond 94, voor aluminium rond 54. Dat aluminium eerder in het vloeigebied zit, komt doordat het slapper is maar niet evenredig zwakker.

Dit is ook meteen de reden dat "bros of taai" hier niet de goede vraag is. Hetzelfde staal knikt bij een lange staaf en vloeit bij een korte.

Wanneer geldt Euler niet

Onder de grensslankheid geeft de Euler-formule een kniklast die het materiaal nooit haalt: het vloeit eerder. Reken dan gewoon met de vloeigrens:

N_{pl} = f_y \cdot A

In het overgangsgebied vlak boven de grens zit de werkelijkheid onder beide lijnen, omdat het materiaal daar al deels plastisch is. Normen vangen dat op met een knikkromme; met de hand gebruik je een Johnson-parabool.

En houd er rekening mee dat Euler uitgaat van een kaarsrechte, centrisch belaste kolom. Een echte kolom staat altijd een beetje scheef, en die beginafwijking groeit onder belasting. De berekende Pcr is dus een bovengrens, geen toezegging.

Gewerkt voorbeeld

Een massieve stalen staaf van ⌀20 mm, 1000 mm lang, scharnierend opgelegd aan beide kanten. S235, dus E = 210 000 N/mm2 en fy = 235 N/mm2.

Eerst de slankheid:

\begin{aligned}
r &= \sqrt{\frac{7854}{314{,}2}} = 5{,}00\ \mathrm{mm} \\[2pt]
\lambda &= \frac{1 \cdot 1000}{5{,}00} = 200
\end{aligned}

Dan de grens:

\lambda_{\mathrm{grens} } = \pi \sqrt{\frac{210\,000}{235}} = 93{,}9 \quad\Rightarrow\quad 200 > 93{,}9 \ \text{: knik}

Knik is dus maatgevend, en de Euler-formule mag:

P_{cr} = \frac{\pi^{2} \cdot 210\,000 \cdot 7854}{\left(1 \cdot 1000\right)^{2}} = 16\,278\ \mathrm{N} = 16{,}3\ \mathrm{kN}

Ter vergelijking: platdrukken zou 73,8 kN kosten. De staaf haalt daar nog geen kwart van. Maak hem half zo lang en de kniklast springt naar 65 kN — vier keer zoveel voor dezelfde hoeveelheid materiaal.

De kritische knikspanning

Wil je de twee mechanismen in dezelfde eenheid vergelijken, deel de kniklast dan door de oppervlakte:

\sigma_{cr} = \frac{P_{cr}}{A} = \frac{\pi^{2} \cdot E}{\lambda^{2}}

Dat is de rechter tak van de grafiek hierboven. Leg σcr naast fy en je ziet meteen welk mechanisme het eerst aan de beurt is — wat precies hetzelfde zegt als de vergelijking tussen λ en λgrens.

Zelf rekenen