Kabelberekeningen in een spandraad

Een kabel tussen twee punten, met iets eraan. Ik heb hier veel ervaring mee opgedaan als Technisch Manager in het project overspanningen van de gemeente Amsterdam. Daar ging het om verlichtingsarmaturen aan een spandraad, maar het principe komt natuurlijk veel vaker voor: feestverlichting over een winkelstraat, een vlaggenlijn tussen twee masten, een lichtslinger boven een terras, een hoogspanningsgeleider tussen twee masten. Ze zien er anders uit en de krachten verschillen, maar het is in essentie dezelfde berekening.

In alle gevallen levert die berekening dezelfde verrassing: de kracht in de kabel is veel groter dan het gewicht dat eraan hangt. Hang twee objecten van 12 kilogram aan een kabel van 30 meter en trek hem strak tot een doorhang van 2 procent (van de spandraadlengte), en er staat 2,2 kilonewton aan kracht op. Dat is ruim 225 kilogram aan trek, acht keer het gewicht dat eraan hangt. En dat trekt aan twee ophangpunten die er misschien nooit op zijn berekend.

Die factor acht volgt rechtstreeks uit de meetkunde, en je kunt hem met één getal sturen: de zeeg, de doorhang van de kabel. Dit artikel laat zien waar die versterking vandaan komt, hoe je hem uitrekent voor willekeurige lasten op willekeurige plaatsen, en waarom de maatgevende belasting per toepassing een heel andere is.

Waarom een kabel geen ligger is

Een ligger heeft buigstijfheid. Leg je er een last op, dan buigt hij door en ontstaan er inwendig trek- en drukspanningen die samen een moment vormen; de vorm van de ligger verandert nauwelijks. Je kunt daardoor de krachten uitrekenen op de onvervormde constructie, en dat is precies wat de standaardformules voor doorbuiging doen.

Een kabel heeft die stijfheid niet. Hij kan geen moment opnemen en geen druk, er blijft maar één mogelijkheid over: trek in de richting van de kabel zelf. Dat heeft twee gevolgen die alles bepalen.

Het eerste: de vorm volgt de belasting. Hang je één gewicht in het midden, dan knikt de kabel daar en krijg je twee rechte stukken. Hang je twee gewichten op, dan krijg je drie rechte stukken. Laat je alleen het eigen gewicht werken, dan krijg je een vloeiende kromme. De kabel zoekt altijd de vorm waarin hij de belasting met pure trek kan dragen, en die vorm is voor elke belasting anders.

Het tweede: de krachten hangen af van de vorm. Hoe vlakker de kabel, hoe meer trek er nodig is om dezelfde last op te houden. In het uiterste geval — een kaarsrecht gespannen kabel — wordt de kracht oneindig, want een horizontale kabel kan per definitie geen verticale last dragen. Daar zit de versterkingsfactor.

De vorm volgt het momentenvlak

Het mooie is dat je dat niet iteratief hoeft op te lossen. Bekijk een klein stukje kabel met lengte dx, met aan beide kanten de kabelkracht en daartussen een verticale belasting q(x) per meter. Noem de horizontale component van de kabelkracht H. Omdat er alleen verticale belasting is, is die horizontale component over de hele overspanning even groot — er is nergens iets wat hem kan veranderen. Het verticale evenwicht van dat stukje levert dan:

H \cdot \frac{\mathrm{d}^{2}z}{\mathrm{d}x^{2}} = -q(x)

Dat is dezelfde differentiaalvergelijking die het momentenverloop van een vrij opgelegde ligger beschrijft. Twee keer integreren met z = 0 bij beide opleggingen geeft dus:

z(x) = \frac{M(x)}{H}

waarin M(x) het moment is van een vrij opgelegde ligger met dezelfde overspanning en dezelfde belasting. De kabel neemt de vorm aan van het momentenvlak, geschaald met 1/H. Dat is geen benadering maar het exacte resultaat voor een kabel die alleen trek opneemt, bij twee even hoge ophangpunten en verticale belasting.

Hier zit meteen het praktische handvat in. De zeeg ken je: dat is de doorhang die bij het afspannen wordt ingesteld, en wat je van onderaf ziet. Noem de grootste doorhang f, dan volgt uit de vergelijking hierboven:

H = \frac{M_{\mathrm{max}}}{f}

Leg de zeeg vast en de horizontale kracht ligt vast. Het hele probleem is daarmee statisch bepaald: je hoeft niets te weten over het materiaal, de doorsnede of de elasticiteitsmodulus. Alleen over de meetkunde en de belasting.

Alleen eigen gewicht: de parabool

Hangt er niets aan de kabel behalve de kabel zelf, dan is de belasting gelijkmatig verdeeld en is het momentenvlak een parabool met als maximum qL²/8. Invullen geeft de klassieke formules:

z(x) = \frac{q \, x \, (L - x)}{2H} \qquad\text{en}\qquad H = \frac{q L^{2}}{8 f}

Streng genomen klopt dat niet helemaal. Het eigen gewicht werkt per meter kabellengte, niet per meter horizontale afstand, en de kabel is langer dan de overspanning. Doe je het exact, dan krijg je geen parabool maar een kettinglijn:

z(x) = \frac{H}{q}\left(\cosh\frac{q x}{H} - 1\right)

Het verschil is kleiner dan je zou denken. Ik heb beide voor dezelfde zeeg uitgerekend: bij 2 procent zeeg zit er 0,05 procent verschil in H, bij 5 procent 0,33 procent en bij 10 procent 1,3 procent. Pas bij een zeeg van een vijfde van de overspanning — een kabel die er zichtbaar als een hangmat bij hangt — loopt het op naar bijna 5 procent.

Voor vrijwel elk spandraad is de parabool dus ruim voldoende. Dat de hoogspanningswereld toch met de kettinglijn rekent, komt niet doordat de afwijking daar groot is — bij 3 procent zeeg is het 0,12 procent — maar doordat die berekening iets anders moet leveren: sluitende tabellen van zeeg, spanning en temperatuur over tientallen opeenvolgende overspanningen, waarin een systematische fout zich opstapelt.

Van horizontale kracht naar kabelkracht

H is niet de kracht in de kabel; het is de horizontale component ervan. De verticale component varieert wél over de lengte: hij is gelijk aan de dwarskracht van diezelfde vrij opgelegde ligger. In het midden van een symmetrisch belaste kabel is die nul — daar loopt de kabel horizontaal — en bij de opleggingen is hij het grootst. Daar is de kabelkracht dus ook maximaal:

T(x) = \sqrt{H^{2} + V(x)^{2}} \qquad\text{met}\qquad \tan\theta = \frac{V}{H}

De verticale component bij de opleggingen is niets anders dan de oplegreactie: de helft van het eigen gewicht plus het deel van elke last dat bij die kant hoort.

V_{\mathrm{A}} = \frac{qL}{2} + \sum_i P_i \, \frac{L - a_i}{L}

Bij een strak gespannen kabel is V klein ten opzichte van H. In het voorbeeld uit de inleiding is H 2221 N en V 138 N; de kabelkracht wordt dan 2225 N, nog geen kwart procent meer dan H. Dat is typerend: bij een zeeg van een paar procent is de kabelkracht praktisch gelijk aan de horizontale component, en staat de kabel bij het ophangpunt onder een hoek van een graad of drie.

Dat kleine hoekje bepaalt hoe het ophangpunt wordt belast. De kabel trekt het bijna recht naar zich toe, vrijwel horizontaal. Zit dat ophangpunt in een gevel, dan is dat precies de ongunstige richting: een anker in metselwerk is sterk tegen afschuiving en zwak tegen uittrekken. Zit het aan een vrijstaande mast, dan is het een moment aan de voet. In beide gevallen geldt: hoe strakker je spant, hoe horizontaler de kracht.

Puntlasten: knikken in plaats van kromme

Voor losse objecten aan de kabel verandert er aan de methode niets. Het momentenvlak van een ligger met puntlasten bestaat uit rechte stukken met een knik bij elke last, dus de kabel doet dat ook. Het moment in het veld reken je zoals altijd:

M(x) = V_{\mathrm{A}} \, x - \frac{q x^{2}}{2} - \sum_{a_i < x} P_i \, (x - a_i)

Het maximum zoek je op bij de lastposities en, als er ook eigen gewicht is, op het punt in elk segment waar de dwarskracht door nul gaat.

Eén last in het midden geeft M_max = PL/4 en daarmee:

H = \frac{P L}{4 f}

Dat is meteen een bruikbare vuistregel. Met f = L/50 — twee procent zeeg — wordt H = 12,5 · P. Een object van 12 kilogram in het midden van een strakke spandraad levert ruim anderhalve kilonewton. En het schaalt niet met de lengte: in deze vorm staat L zowel in de teller als, via de zeeg, in de noemer. Wat telt is de verhouding zeeg tot overspanning, niet de overspanning zelf.

Daar zit ook een contra-intuïtief randje aan. Een last dichter bij een oplegging geeft een kleiner moment en dus bij dezelfde zeeg een kleinere kabelkracht. In het voorbeeld: hetzelfde object op 5 meter van het ophangpunt in plaats van in het midden brengt de kabelkracht terug van 1,73 kN naar 0,97 kN. Tegelijk wordt de verticale component aan die kant juist groter, en staat de kabel daar steiler. De grootste kracht blijft bij de dichtstbijzijnde oplegging.

Een voorbeeld, helemaal uitgerekend

Neem de situatie uit de inleiding — twee straatarmaturen aan een spandraad tussen twee gevels, maar reken het net zo door voor twee bloembakken of twee luidsprekers:

• overspanning L = 30 m
• twee objecten van 12 kg op 10 en 20 meter, dus P = 117,7 N elk
• staalkabel 7×19, ø 6 mm, eigen gewicht q = 1,38 N/m
• zeeg f = 2 procent van de overspanning = 0,60 m

De oplegreactie is het halve eigen gewicht plus één object:

V = \tfrac{1}{2} \cdot 1{,}38 \cdot 30 + 117{,}7 = 20{,}7 + 117{,}7 = 138{,}4\ \mathrm{N}

Het maximale moment zit in het midden. Van de lasten komt daar P · L/3 = 117,7 · 10 = 1177 Nm bij, van het eigen gewicht qL²/8 = 1,38 · 900 / 8 = 155 Nm. Samen 1332 Nm, oftewel 1,33 kNm.

H = \frac{1{,}33 \cdot 10^{6}}{600} = 2221 \ \mathrm{N}

T = \sqrt{2221^{2} + 138{,}4^{2}} = 2225 \ \mathrm{N}

Oftewel 2,23 kN per ophangpunt, bij een totale verticale belasting van 0,28 kN. De kabel staat onder 3,57 graden met de horizontaal en is 30,035 meter lang: 35 millimeter meer dan de overspanning. Dat laatste getal komt nog terug.

De trekcapaciteit van zo'n kabel ligt een orde hoger — voor 6 mm 7×19 is een rekenwaarde van rond de 18 kN gebruikelijk, afhankelijk van de eindverbinding — dus de kabel zelf heeft ruimte zat. Dat is bijna altijd zo. De vraag is of het ophangpunt het houdt.

De zeeg is de knop waar alles aan hangt

Zet de kabelkracht uit tegen de zeeg en je ziet waarom die ene keuze zo zwaar weegt:

De kracht is omgekeerd evenredig met de zeeg. Halveer je de doorhang, dan verdubbelt de kracht; dat geldt over het hele bereik, en voor elk van de toepassingen hieronder. Die hyperbool is de belangrijkste figuur van dit artikel, want hij maakt twee dingen duidelijk.

Ten eerste: een paar centimeter extra doorhang kost bijna niets aan vrije hoogte, maar scheelt een flinke hap in de kracht op de ophangpunten. Van 2 naar 3 procent zeeg kost 30 centimeter hoogte en scheelt een derde van de kracht.

Ten tweede: het afspannen is een maatgevende handeling. Bij 2 procent zeeg hoort een doorhang van 600 mm. Wordt er 60 mm strakker gespannen dan bedoeld, dan loopt de kracht ruim 10 procent op. Bij 1 procent zeeg betekent dezelfde 60 mm al 25 procent. Hoe strakker het ontwerp, hoe gevoeliger het wordt voor de uitvoering — en des te belangrijker dat de zeeg gecontroleerd wordt en niet op gevoel gaat.

Waar het compromis ligt, verschilt per toepassing. Rond de 2 procent is gebruikelijk waar vrije hoogte boven een straat telt. Hangt er niets onder dat in de weg zit, dan is er geen enkele reden om zo strak te spannen.

Dezelfde formule, vier maatgevende belastingen

Tot hier ging het over één situatie: losse objecten aan een korte overspanning, met het gewicht als hoofdzaak. Dat is lang niet altijd wat de kracht bepaalt. De vier gevallen hieronder gebruiken allemaal dezelfde vergelijkingen, maar met een andere belasting in de hoofdrol — en daarmee een heel ander ontwerp.

Enkele zware punten: armaturen en hangende objecten

Het geval uit het voorbeeld. Een paar puntlasten van tientallen newton tot een paar honderd newton, een overspanning van tien tot vijftig meter, een staalkabeltje van 6 of 8 mm. Het eigen gewicht van de kabel is een bijrol — in het voorbeeld 41 van de 277 newton — en de puntlasten doen de rest. Wind en ijs komen er bovenop, zoals verderop beschreven, en de vrije hoogte boven de straat drukt de zeeg naar beneden. Dat is de combinatie die de versterkingsfactor zo hoog maakt.

Veel kleine lasten: feestverlichting en lichtslingers

Een lichtslinger of een snoer met honderden lampjes gedraagt zich anders: in plaats van een paar puntlasten heb je tientallen kleine, en op kabelschaal is dat gewoon een gelijkmatig verdeelde belasting. Het momentenvlak is weer een parabool, en je kunt teruggrijpen op H = qL²/(8f).

Neem een slinger met lampjes van 20 meter die in totaal zo'n 0,2 kilogram per meter weegt — snoer en fittingen bij elkaar, dus ongeveer 2 N/m. Bij een zeeg van 5 procent, een meter doorhang, is de kabelkracht 100 N. Het totale gewicht is 39 N, dus de versterking is 2,5 keer: niets vergeleken met de acht uit het eerste voorbeeld, en dat komt puur doordat deze slinger mag doorhangen.

Span diezelfde slinger strak tot 1 procent zeeg en de kracht gaat naar 491 N: een versterking van 12,5. Daar ligt de ontwerpkeuze van elke feestverlichting. De sierlijke boog is niet alleen esthetiek, hij is ook de goedkoopste manier om de bevestiging te ontlasten. Strak gespannen slingers zijn er, maar dan moet er wel een draagkabel onder hangen die de lampjes alleen maar meevoert, en die draagkabel is dan het eigenlijke spandraad.

Wind telt mee, meer dan je bij zoiets lichts verwacht. Een slinger met lampjes van een centimeter of vijf vangt per meter al gauw 0,005 m² aan windoppervlak; met een stuwdruk van 0,68 kN/m² en een krachtfactor rond 1,2 is dat zo'n 4,5 N/m, ruim twee keer het eigen gewicht. De resultante van gewicht en wind is dan 4,9 N/m, en de kabelkracht in ons voorbeeld gaat van 100 naar 250 N. Dat is nog steeds weinig, maar het is wel twee en een half keer zoveel.

Veel windoppervlak: vlaggen en spandoeken

Hier draait de verhouding helemaal om. Een spandoek van 2 bij 0,8 meter weegt nog geen kilo, maar heeft 1,6 m² aan windoppervlak. Reken met een krachtfactor rond 1,8 voor een vlak bord en dezelfde stuwdruk, dan is de windkracht ongeveer 2 kN — ruim driehonderd keer zijn eigen gewicht.

Die kracht werkt horizontaal, en zoals verderop beschreven draait de kabel mee tot hij in het vlak van de resultante hangt. De sommen zijn dan dezelfde, maar de "zeeg" is nu vrijwel horizontaal: de zijwaartse uitzwaai van de kabel. Met een overspanning van 20 meter en een uitzwaai van 0,4 meter — wat je krijgt als de kabel strak staat — kom je op ruim 24 kN kabelkracht. Laat je hem verder uitzwaaien, tot een meter, dan is het nog 10 kN. Beide getallen zijn bovengrenzen: in werkelijkheid rekt de kabel, zwaait het doek verder uit en valt de kracht lager uit. Maar de orde is duidelijk, en die is een factor tien hoger dan bij de armaturen uit het eerste voorbeeld.

Daarom hangen spandoeken over straten aan zware constructies in plaats van aan een gevelankertje, worden ze vaak geperforeerd geleverd om de kracht te verlagen, en is "bij storm verwijderen" geen advies maar een voorwaarde.

Vlaggenlijnen zitten daar tussenin, en lastiger te vangen in een getal. Een vlaggetje is geen vlak bord: het richt zich naar de wind en gaat klapperen, waardoor de weerstand een stuk lager is dan het oppervlak doet vermoeden. Dat klapperen is wel de reden dat vlaggenlijnen niet bezwijken maar slijten — het is een vermoeiingsprobleem bij de knopen en de eindverbindingen, niet een sterkteprobleem in het koord.

Eigen gewicht over grote afstand: hoogspanningsleidingen

Het andere uiterste: geen enkele puntlast, alleen de geleider zelf, maar dan over honderden meters. Een geleider van 1,8 kilogram per meter over een overspanning van 300 meter weegt in totaal 5,3 kN. Met een zeeg van 9 meter — 3 procent — is de kabelkracht 22,2 kN, een versterking van 4,2.

Dat is een kleinere factor dan bij de armaturen, en dat is geen toeval: er hangt niets onder dat in de weg zit behalve de geleider zelf, dus mag de zeeg groot zijn. Wat de ondergrens van de vrije hoogte bepaalt is niet de doorhang bij 15 graden, maar de doorhang op de heetste dag met de hoogste stroombelasting.

Juist daar wreekt zich de gevoeligheid voor lengteverandering. Aluminium zet uit met ongeveer 20 · 10⁻⁶ per graad; 40 graden temperatuurverschil over 300 meter is 24 centimeter extra geleiderlengte. Dat levert bijna anderhalve meter extra doorhang op en zo'n 13 procent minder kabelkracht. Een hoogspanningslijn hangt op een warme dag dus meters lager dan op een vriesnacht, en wordt op een koude dag veel zwaarder belast. Daarom wordt er niet op kracht afgespannen maar op een zeegtabel: bij de temperatuur van dat moment hoort precies één juiste doorhang.

Wat er in de praktijk bij komt

De berekeningen hierboven zijn statica met gewicht en wind. In werkelijkheid zijn er nog een paar zaken die meespelen, en ze werken vrijwel allemaal dezelfde kant op.

Wind

Wind werkt horizontaal, loodrecht op het vlak waarin de kabel hangt. Dat lijkt een driedimensionaal probleem, maar is het nauwelijks: de kabel zwaait uit tot hij weer in het vlak hangt van de resultante van gewicht en wind. In dat gekantelde vlak gelden dezelfde formules, met de resultante als belasting:

q_{\mathrm{r}} = \sqrt{q_{\mathrm{v}}^{2} + q_{\mathrm{w}}^{2}}

De orde van grootte verrast, ook bij een kale kabel. Reken met Eurocode-waarden voor windgebied II in bebouwd gebied: een stuwdruk van circa 0,68 kN/m², een krachtfactor van 1,2 voor een rond profiel. Voor een kabel van 6 mm geeft dat ongeveer 4,9 N per meter windbelasting, tegenover 1,38 N per meter eigen gewicht. De wind op de kabel is dus ruim drie keer zijn eigen gewicht.

Voor een object aan de kabel hangt het helemaal af van de vorm. Een armatuur van 0,55 bij 0,40 meter heeft een windoppervlak van circa 0,165 m². Met een krachtfactor rond 0,6 en een opslag voor de dynamische respons van een slap opgehangen massa — die meebeweegt met de windvlagen, waardoor c_sc_d ruim boven 1 uitkomt — kom je uit rond 115 N horizontaal. Dat is ongeveer net zoveel als zijn gewicht. Voor een plat spandoek is het, zoals hierboven, honderden keren zijn gewicht.

IJs

Aanvriezing volgens ISO 12494 voegt massa toe over de hele lengte. Voor de lichtste ijsklasse op een dunne kabel is 0,5 kilogram per meter een gangbare waarde: ongeveer 5 N/m, oftewel ruim drie keer het eigen gewicht van een kabel van 6 mm. IJs werkt verticaal en telt dus rechtstreeks bij het gewicht op. Op een hoogspanningsgeleider is het absoluut gezien veel meer, maar relatief minder ingrijpend, omdat die geleider zelf al zwaar is.

Wind en ijs samen zijn niet academisch. Neem het voorbeeld met de twee objecten van 12 kilogram en doe er ijs op de kabel en wind bij, met de resultante-methode: de verdeelde belasting gaat van 1,38 naar ruim 8 N/m, de last per object van 118 naar ongeveer 163 N, en de kabelkracht loopt op van 2,23 kN naar 4,24 kN. Bijna een verdubbeling, en dan is de zeeg nog niet eens veranderd.

Temperatuur en rek

Dit is de lastigste, en de reden dat een echte controle meer is dan de formules hierboven. Zeeg en kabellengte hangen samen:

S \approx L \left(1 + \frac{8}{3}\left(\frac{f}{L}\right)^{2}\right)

Differentiëren geeft dS/df = 16f/(3L). Bij het voorbeeld van 30 meter met 2 procent zeeg is dat 0,107: één millimeter extra kabellengte levert ruim negen millimeter extra zeeg op. En omdat de kracht omgekeerd evenredig is met de zeeg, is dat ruim anderhalf procent minder kracht — per millimeter.

Dat maakt elk spandraad gevoelig voor lengteverandering. Staal zet uit met ongeveer 12 · 10⁻⁶ per graad; tien graden temperatuurverschil over 30 meter is 3,6 mm, goed voor ruim drie centimeter zeeg en zo'n 5 procent krachtverschil. Een koude winternacht geeft een strakkere, hoger belaste kabel dan een warme zomermiddag. Bij de hoogspanningslijn hierboven gaat het om meters in plaats van centimeters, maar het mechanisme is identiek.

De elastische rek werkt dezelfde kant op en is nog groter. Voor een 7×19-kabel van 6 mm met een staaloppervlak van ruwweg 14 mm² en een effectieve elasticiteitsmodulus van zo'n 100 kN/mm² — lager dan die van massief staal, omdat de strengen zich eerst zetten — rekt de kabel bij 2,2 kN enkele centimeters over 30 meter. Dat is van dezelfde orde als de 35 millimeter die de zeeg zelf kost.

De conclusie daaruit: wat er wordt ingesteld is niet "de zeeg" maar een combinatie van voorspanning en lengte, en als je er daarna belasting bij hangt nemen zeeg én kracht allebei toe. Een exacte controle rekent daarom met de onbelaste kabellengte en de rekstijfheid, en lost de evenwichtsstand numeriek op. De statische berekening hierboven geeft je de twee grenzen waartussen dat antwoord ligt: reken met de zeeg zoals afgespannen, en opnieuw met de zeeg onder volle belasting, en je hebt de bovengrens en de ondergrens van de kabelkracht in handen.

Trillingen

Een kabel met een massa eraan is een slinger, en een kabel in de wind is een object dat kan gaan dansen. In de windberekening zit dat verwerkt in de factor voor de dynamische respons, maar bij lange overspanningen en lichte objecten is het de moeite waard om er apart naar te kijken: herhaalde beweging betekent vermoeiing in de eindverbindingen, en daar bezwijken kabelconstructies vaker dan in het vrije veld. Bij vlaggenlijnen is het zelfs het enige faalmechanisme dat ertoe doet.

Het ophangpunt, niet de kabel

In vrijwel elk spandraad is de kabel ruim bemeten en is de bevestiging het kritieke onderdeel. De kabelkracht reken je uit zoals hierboven, vermenigvuldigd met de belastingfactoren uit de norm, en die rekenwaarde is wat het ophangpunt moet kunnen opnemen. Bij een mast is dat een reguliere sterkteberekening. Bij een gevel wordt het lastiger, en dat geval is het uitzoeken waard, omdat het laat zien hoe je met een onbekende weerstand omgaat.

Het probleem is dat je de weerstand van een anker in metselwerk niet kunt berekenen. Hij zit in een muur waarvan je de kwaliteit niet kent, soms al decennia, aangebracht door iemand die er geen aantekening van heeft gemaakt. De gangbare oplossing is daarom een trekproef: belast elk anker tot een vastgestelde proefbelasting en kijk of het houdt.

Hoe hoog die proefbelasting moet zijn, is een afweging. Hoger testen geeft meer zekerheid achteraf, maar vergroot de kans dat je tijdens de test de gevel beschadigt. De Europese technische richtlijn voor injectieankers in metselwerk hanteert een forse opslag op het ontwerpbelastingeffect. Betrouwbaarheidsanalyses voor dit type kabelconstructies laten zien dat dat onnodig conservatief is: bij een proefbelasting gelijk aan het ontwerpbelastingeffect — factor 1,0 — wordt de gewenste betrouwbaarheid over een referentieperiode van 25 jaar al gehaald, terwijl de kans op schade tijdens de test veel kleiner is.

Dat is geen algemene vrijbrief. Die factor 1,0 hoort bij een afgebakend toepassingsgebied: een enkele, symmetrische kabel van 6 tot 8 mm roestvast staal, overspanningen tot enkele tientallen meters, hooguit twee of drie objecten van een bekend type, en ankers die tot dezelfde populatie behoren als de ankers waar de onderliggende proevenverzameling op is gebaseerd. Buiten dat gebied — langere overspanningen, zwaardere of grotere objecten, afwijkende configuraties — is de onderbouwing er niet en moet je terug naar de conservatieve waarde of een eigen analyse. En een proefbelasting zegt alleen iets over het moment van de test: periodieke visuele inspectie van anker, muurplaat en het metselwerk eromheen blijft nodig, want scheurvorming in de gevel ondermijnt de weerstand waar geen berekening bij kan.

De rekenhulp

Hieronder kun je het voor je eigen situatie doorrekenen: overspanning, zeeg, verdeelde belasting en tot vier losse lasten op zelfgekozen posities. Dat dekt alle vier de gevallen hierboven. Een lichtslinger vul je in als verdeelde belasting zonder puntlasten; een hoogspanningsgeleider net zo, maar met een andere waarde per meter; losse objecten als puntlasten. De schets tekent mee, zodat je ziet waar de kabel knikt en waar de grootste doorhang zit.

Probeer in ieder geval één ding: zet de zeeg op 1 procent en kijk wat er met de kabelkracht gebeurt. Dat is de hele les van dit artikel in één schuif.

Wat deze berekening niet zegt

• Twee even hoge ophangpunten. Hangt het ene punt hoger dan het andere, dan blijft H nog steeds constant en verschuift het laagste punt; de formules worden dan wat langer, maar de methode verandert niet.
• Alleen verticale belasting. Wind reken je mee via de resultante, zoals hierboven; voor de scheve stand van het vlak moet je zelf corrigeren.
• De zeeg is invoer, geen uitkomst. De kracht volgt uit de vorm. Wil je het omgekeerde — welke zeeg hoort bij een voorspanning die je hebt ingesteld — dan heb je de rekstijfheid en de onbelaste lengte nodig.
• Niets over het ophangpunt. De uitkomst is de kracht waarmee de kabel aan de bevestiging trekt. Of die bevestiging dat kan hebben, is een andere vraag, en in de praktijk de vraag die ertoe doet.
• Niets over de eindverbinding. Een kabelklem of een geperste lus heeft een lagere capaciteit dan de kabel zelf. Reken met de capaciteit van de zwakste schakel, niet met de breekkracht van het staaldraad.

Verder lezen

• Doorbuiging berekenen — dezelfde momentenvlakken, maar dan voor een constructie die wél buigstijfheid heeft.
• Interne spanningen — van kracht naar spanning, en waarom een doorsnede bezwijkt.
• Luchtweerstand berekenen — waar de windkracht op de kabel en wat eraan hangt vandaan komt.
• Vermoeiing van metaal — wat herhaalde belasting doet met eindverbindingen.